Propagation des ondes

La propagation des ondes est un phénomène physique dont découlent l'évolution et la progression d'une onde au sein d’un milieu, ou encore certains mouvements d'une particule dans l'espace et le temps.

En considérant la direction de propagation de l'onde dans l'espace, on peut distinguer deux types d'ondes :

• les ondes longitudinales ;
• les ondes transversales.

La grandeur principale caractérisant la propagation des ondes est la célérité, c'est-à-dire la vitesse de propagation d'une onde dans un milieu donné. Dans certains cas l'amortissement joue un rôle, par exemple dans la propagation sur de grandes distances.

Conditions de propagation

Certains types d'onde ont besoin d'un milieu matériel pour se propager. Par exemple, le son^[1] ne se propage pas dans le vide.

La propagation d'une onde n'implique pas de déplacement des composants du milieu à grande échelle, mais plutôt leur oscillation ou la variation des propriétés du milieu traversé. Pour les ondes mécaniques, ce n'est pas la matière qui est transportée, mais la quantité de mouvement.

Vitesse de propagation

La vitesse de propagation d'une onde correspond à la vitesse de translation de son profil. Pour une onde harmonique monochromatique, elle est liée à sa longueur d'onde λ, à sa fréquence f et à sa période T par les égalités suivantes :

${\displaystyle v=\lambda \ f={\frac {\lambda }{T}}.}$

Équation d'onde

L'équation différentielle modélisant une onde peut être plus ou moins compliquée selon la dimension de l’espace considéré et la nature du milieu (isotropie, homogénéité) dans lequel elle se déplace. D’autres termes peuvent intervenir dans l'équation afin de refléter d’autres phénomènes (par exemple dissipatifs tels la viscosité d’un liquide, l’effet Joule dans un conducteur, etc). La solution peut être une fonction scalaire, mais aussi vectorielle, tensorielle, ou encore spinorielle.

Une dimension

Le phénomène de propagation des ondes peut être modélisé par une équation d'onde qui est une équation aux dérivées partielles du second ordre : c'est l'équation de d'Alembert. À une dimension, cette équation s'écrit :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0.}$

Cette relation modélise une onde progressive se déplaçant à vitesse v en l’absence de mécanismes d’amortissement ou d’atténuation. Pour n'importe quelles fonctions f et g (qu’on supposera régulières), elle a pour solution

${\displaystyle u(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)}$

Cette solution u(x,t) est une fonction à une inconnue spatiale x et une inconnue temporelle t. Le profil de chacune des deux composantes subit une translation uniforme, f(x, t) correspondant à une propagation de l'onde vers la gauche, g(x,t) à une propagation vers la droite, à condition de définir l'axe des x croissant vers la droite.

Dans le cas particulier des ondes harmoniques, f et g sont des combinaisons de fonctions sinusoïdales.

N dimensions

Dans un espace à n dimensions, l'équation d'onde homogène prend la forme :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0}$

où ${\displaystyle u=u(x_{1},...,x_{n},t)}$ est une fonction à n+1 inconnues. Les solutions sont des ondes planes du type

${\displaystyle u({\vec {x}},t)=f(({\vec {k}},{\vec {x}})-\omega t)+g(({\vec {k}},{\vec {x}})+\omega t)}$

où le vecteur d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}}$ (perpendiculaire au plan de déplacement) et la pulsation ω sont des paramètres liés par

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}k_{i}^{2}=\omega ^{2}.}$

Ondes longitudinales et transversales

On parle d'onde longitudinale lorsque le phénomène physique s'effectue dans la même direction que la propagation de l'onde. Les ondes acoustiques, un système de ressort en sont des exemples. Le terme d'onde transversale est employé lorsque le phénomène physique se déroule perpendiculairement à la direction de propagation, comme les ondes électromagnétiques dans le vide, ou les vagues.

Ondes progressives et ondes stationnaires

Il est d'usage dans la communauté scientifique de distinguer les ondes progressives des ondes stationnaires. Les ondes progressives avancent dans l'espace.

Les ondes stationnaires, au contraire, oscillent sans se déplacer. Ainsi, elles ne dépendent plus du seul paramètre z-ct, mais des paramètres d'espace z et de temps t de façon indépendante. Un exemple typique est une corde tendue qui peut aussi bien vibrer à sa fréquence fondamentale qu’à chacune de ses harmoniques. Une expression simple d'une onde stationnaire harmonique à une dimension est la suivante :

${\displaystyle U(z,t)=U_{0}\cos \left(2\pi {\frac {t}{T}}\right)\cos \left(2\pi {\frac {z}{\lambda }}\right)}$

On appelle la pulsation ${\displaystyle \omega ={2\pi \over T}}$

et le nombre d'onde ${\displaystyle k={2\pi \over \lambda }}$

À un temps t fixé, une onde stationnaire ressemble à une onde progressive. En revanche, son évolution temporelle est totalement différente. Une onde stationnaire possède des minima (nœuds) et des maxima (ventres) d'amplitude fixes dans l'espace. Ainsi, si on se place aux nœuds de cette onde, l'amplitude est nulle quel que soit le temps. Avec une onde progressive, nous aurions vu l'amplitude évoluer, de façon sinusoïdale avec le temps dans le cas d'une onde harmonique.

Une façon simple de construire une onde stationnaire est de superposer deux ondes progressives se propageant en sens inverse. C'est d'ailleurs ce qui se passe lorsqu'une onde se réfléchit sur un miroir parfait.

Les ondes stationnaires sont des objets physiques très courants et se rencontrent notamment dans les cavités laser ou les lignes hyperfréquence.

Phénomènes affectant la propagation des ondes

• Réflexion
• Réfraction
• Diffusion
• Interférences
• Diffraction

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Onde
• Célérité
• Vitesse d'une onde
• Équation d'onde
• Équation de d'Alembert

Simulations

• À partir d'une chaine de ressorts, simulation de réflexion, fréquence de coupure, ondes stationnaires, impédance caractéristique, effet sonar, oscillations forcées, etc. Université Paris XI

Bibliographie

Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 7 : Théorie de l'élasticité [détail des éditions]

• Portail de la physique